Riconosciuto unanimemente come uno dei massimi interpreti del repertorio vocale rinascimentale e barocco, Giovanni Acciai si è diplomato in Organo, in Composizione e in Direzione di coro e si è specializzato in «Paleografia e filologia musicale» presso l'Università degli studi di Pavia.

È professore emerito di Paleografia musicale nel Corso di Musicologia presso il Conservatorio «Giuseppe Verdi» di Milano.

Nel 1982 è risultato vincitore del concorso per la realizzazione dell'edizione critica della Messa di Gloria di Gioacchino Rossini, indetto dalla Fondazione «Rossini» di Pesaro e pubblicata da Casa Ricordi.

Già direttore della rivista di musica vocale «La Cartellina», fondata da Roberto Goitre e de «L'Offerta musicale», ha al suo attivo numerose revisioni di musiche antiche, saggi musicologici, traduzioni, l'elenco dei quali è possibile consultare su questo sito, alla voce «Pubblicazioni».

Per i meriti artistici e musicali acquisiti in campo internazionale è stato eletto nel 1991, «membro onorario» dell'American choral directors associations e nel 2020 è stato nominato «socio onorario» Associazione Internazionale Studi di Canto Gregoriano di Roma. Ancora nel 2020, l'Associazione nazionale di liuteria artistica italiana di Cremona gli ha conferito il Premio A.N.L.A.I. 2020 «per una vita dedicata alla musica e all'arte».

È direttore artistico dei Concorsi internazionali di canto corale di Grado, di Lucca, di Assisi, organizzati da Interkultur (www.interkultur.com) e di Quartiano (Lodi).
È regolarmente invitato a ricoprire l'incarico di presidente e di membro di giuria dei piú importanti concorsi nazionali e internazionali di canto e di composizione corale; a tenere relazioni in convegni musicologici, masterclasses e stage di perfezionamento in direzione di coro presso Conservatori, Associazioni musicali italiane e straniere.

Per conto della casa discografica Nuova era ha curato la registrazione del «Quarto» e del «Sesto Libro de Madrigali a cinque voci» di Claudio Monteverdi, nell'esecuzione dei «Solisti del madrigale».
Alla guida del Collegium vocale et instrumentale «Nova Ars Cantandi» ha invece realizzato, per l'etichetta Concerto la registrazione dei «Vespri per la festa di Ognissanti» di Giovanni Giacomo Arrigoni; per la Sarx Records, lo «Stabat Mater» di Pasquale Cafaro, i «Responsori della Settimana santa» di Francesco Durante e il «Primo libro dei motetti a quattro voci» di Giovanni Pierluigi da Palestrina; per la Stradivarius, l'edizione integrale delle «Lamentazioni e Responsori della Settimana santa» di Lodovico Grossi da Viadana, un CD intitolato «Europa concordia musicae», contente musiche polifoniche dei secoli XV e XVI, commissionato dalla Presidenza del Consiglio dei Ministri e dalla RAI, in occasione del semestre di presidenza italiana dell'Unione europea, il «Primo libro delle messe a quattro voci» (1561) di Giovanni Contino e i «Concerti ecclesiastici a 1, 2, 3 e 8 voci» (1604) di Giacomo Moro; per l'Unda Maris ha registrato il «Missarum cum quinque, sex et octo vocibus, liber primus» (1575) di Pietro Vinci; per la Tactus, il «Vespro a cappella della Beata Vergine, opera ottava» (1678), di Isabella Leonarda e gli «Armonici entusiasmi di Davide», opera nona (1690) di Giovanni Battista Bassani. Quest'ultimo disco ha ricevuto nel 2017, la nomination per gli International Classical Music Awards - ICMA, nella categoria «Early Music»; per la rivista Antiqua-Classic Voice, ha realizzato due CD dedicati, rispettivamente a «La musica dei mercanti. I concerti serali della Germania del Seicento» e «La musica del Giubileo. Un Vespro seicentesco per la divina Misericordia»; per la Archiv-Deutsche Grammophon, l'«Arpa davidica. Salmi e Messa concertati», opera XVI (1640) di Tarquinio Merula, i «Contrafacta» di Claudio Monteverdi («disco del mese» per le riviste Classic Voice e Amadeus), «Confitebor» e i «Responsoria» di Leonardo Leo («disco del mese» per la rivista di critica discografica Musica e Premio «Franco Abbiati» 2019 dell'Associazione nazionale dei critici musicali); per la Naxos, le «Compiete con le lettanie et antifone della Beata Vergine», a cinque voci, opera VII (1662); l'«Harmonia di affetti devoti», opera III (1655) di Giovanni Legrenzi (disco del mese per la rivista di critica discografica Musica e per MusicVoice); i «Salmi e Magnificat» per quattro voci e basso continuo di Francesco Durante (disco del mese per la rivista di critica discografica Musica e per MusicVoice).

Nel dicembre del 2004 è stato nominato membro attivo e rappresentante ufficiale per l'Italia del «Choir Olympic Council», sotto l'egida dell'UNESCO.
Dal novembre del 2015 fa parte, come memmbro individuale,  del Réseau Européen de Musique Ancienne (REMA.), la rete europea di riferimento per la musica antica e, dal maggio del 2022, essendo direttore della «Nova Ars Cantandi», della Fédération des ensembles vocaux et instrumentaux spécialisés (FEVIS), con sede a Parigi. 

Nel 2021, insieme con Ivana Valotti ha fondato, a Milano il festival di musica antica «Europa Concordia Musicae» e nel 2022, a Clusone (Bergamo), il festival internazionale «Musica Mirabilis», dedicato alla riscoperta e alla rivalutazione della musica vocale e strumentale di Giovanni Legrenzi (1626-1690).

Ancora nel novembre del 2022, insieme con Vincenzo De Gregorio e Luigi Grima, ha fondato il «Napoli Musica Sacra Festival», del quale è anche membro del comitato artistico.

Nel maggio 2024, il Ministero per la Cultura italiano ha nominato Giovanni Acciai, membro del «Comitato nazionale per le celebrazioni del quinto centenario della nascita di Giovanni Pierluigi da Palestrina».